その5 - 制御出力とプロセスの応答計算

プロセスは一次遅れ＋無駄時間モデルに限る訳ではありません。
一般的には次式のように離散化式で表現できます。
(12)
ただし、nは、応答を表現する時間の幅とします。
(12)式は、次に発生するプロセスの出力変化分が、1ステップ前から現在までの入力の増分に、 nステップ前の入力増分にステップ応答の0ステップから1ステップへの変化分を掛けたものに、 n+1ステップ前の入力増分にステップ応答の1ステップから2ステップへの変化分を掛けたもの...を をここで、簡単のため、つぎのように置き換えます。
、 、 , ,
ここで、 p_iは、インパルス応答を表すものであることに注意してください。
(13)
簡単のため、(13)式を書き換えます。
(14)
したがって、(13)または(14)式をスプレッドシートに記述すれば、 プロセスの応答を計算することができます。
ただし、プロセスのモデルを表すスパンがプロセスの応答時間に対して短すぎると 定常に達する前にプロセス モデルが終わってしまうので、モデルの誤差が出ます。
プロセスの応答時間に対して十分なスパンをとっていれば、次式が成り立ちます。
または (15)
どうしても、十分なスパンをとれないばあいには、時間の刻み幅を大きくすれば、 同じスパンであっても、(15)式に近い関係を得ることができます。
あるいは、次式のように強引に(15)式を成立させてしまえば、モデル誤差の蓄積はなくなります。
(16)
(16)式のようにしてしまうと、モデルのスパンの最後に不連続点が出ますが、 実際に定常に近くなっていれば、無視してもよいでしょう。
一時遅れのプロセスの場合には、(15)式は完全には満たされませんが、 スパンを十分に大きく実用上は、(15)式が成立するとしても差し支えないでしょう。